メルマガ「高校受験に塾はいらない！ 中学の成績を2.9倍伸ばす問題集」#141 / 数学・入試演習(合同・相似)
これは、メルマガ「高校受験に塾はいらない！ 中学の成績を2.9倍伸ばす問題集」
の#141の解答編です。
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＜今日の問題＞
上の図のように、長方形ABCDがあり、辺ABの中点をEとする。
また、辺BC上に点Fを BF : FC = 2 : 1 となるようにとり、辺AD上に点Gを、線分DEと線分FGが垂直に交わるようにとる。
さらに、線分DEと線分FGとの交点をHとする。
AB=2cm、BC=3㎝のとき、線分GHの長さを求めなさい。
(2018 神奈川県県立高校入試)
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＜解答編＞
まずは、問題文からわかることを図に書き入れてみましょう。
(図やグラフが出てくる問題では必ずやってほしいことです)
(丸数字は長さではなく比です)
さて、このような図形の中の辺の長さを求める問題というのは、
「合同な図形・相似な図形」を見つけてあげるのが基本です。
もちろん、三平方の定理を使うだけで求められることもあるのですが、入試で問題として聞かれる場合、どこかで相似や合同が関わってきます。
さて、どこにあるでしょうか？
例えば、こんなものがあります。
上の図で、△AED ∽ △HGD であることがわかります。
( ∠DAE=∠DHG=90°、∠ADE=∠HDG ですね)
さて、この2つの三角形を「同じ向き」で書いてみましょう！
(特に相似や合同が苦手な人はやってみてください)
こうなります。
この問題で求めるGH ( としました) もこの図の中にありますね。
さて、後は、DGかDHがわかれば何とかなりそうですが、すぐにはわかりそうにありません。
では、どうしたらいいでしょう？
とりあえず、他に相似(合同)な図形がないかどうか探してみましょう。
…とここで詰まってしまう人も多いと思います。確かに見つけるのは難しいですね。
ここで1つヒントを出します。
「補助線」を引いてみたらどうでしょうか？
DEを左の方に伸ばして、同様にCBも左に伸ばします。
それらの交点が I です。
上の図で、△ICD ∽ △IHF であることがわかります。
( ∠ICD=∠IHF=90°、∠CID=∠HIF ですね)
先ほどと同じように 2つの三角形を「同じ向き」で書いてみましょう。
わかる辺の長さも書き入れていきますよ！
さて、DIとFIについては補足して説明しましょう。
まず、DIは三平方の定理を使って求められますね。
次は、FIです。
オレンジの部分に注目してみると、△IEBと△IDCの相似比は1:2なので、
(証明はしてみてくださいね)
IB = BCとなり、IB=3㎝となります。
BFは2㎝なので、(BF : FC = 2 : 1)
FIは、IB+BFより、5㎝となります。
さて、これでHIの長さがわかりますよね。
比の式を作ることができます。
さて、これでDHの長さがわかりますよね？
です。
よって、 ですね。
さて、最初の図に戻ってみましょう。
ここまで来れば、GHは求められますよね
よって答えは、 となります。
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