【高校入試】2018年東京都立高校入試数学大問4[問2②] ～面積の比～

2018年東京都立高校入試の数学。

大問4、平面図形の問題です。ここでは[問2②]を解いていきます。

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　　要は、面積比を求める問題です。

　面積比を求めるには、相似比をうまく利用する必要があります。例えばある2つの図形の相似比が3:7だったら、面積比は9:49になりますよね。

　それでは、相似な図形がこの中に無いか探してみることにしましょう。

　例えば、△PBQ∽△ACQというのがありますね。 $\stackrel{\frown}{BC}$ に対する円周角なので∠BPQ=∠CAQ、対頂角なので∠PQB=∠AQCですから2つの角がそれぞれ等しいですね。

　しかし、これらの相似比を求めようと思っても、なかなかうまくいかないと思います。。。

　ここで、△ACQと△OBPに注目してみたらどうでしょう。

　まず、∠QAC=∠POBであることがわかります。

　∠QACは $\stackrel{\frown}{BC}$ に対する円周角、∠POBは $\stackrel{\frown}{BP}$ に対する中心角です。

　ここで $\stackrel{\frown}{BC}=2\stackrel{\frown}{BP}$ なので、

$\stackrel{\frown}{BC}$ の円周角 → $\stackrel{\frown}{BP}$ の円周角の2倍

$\stackrel{\frown}{BP}$ の中心角 → $\stackrel{\frown}{BP}$ の円周角の2倍

となり、∠QAC=∠POBとなります。

　また、 $\stackrel{\frown}{AP}$ に対する円周角なので、∠ACQ=∠OBP。

　よって、2つの角がそれぞれ等しいので △ACQ∽△OBP です。さて、こちらの相似比はわかるでしょうか？

　OBは円の半径ですね。△OACに注目してみると、直角二等辺三角形なので、AC:OA= $\sqrt{2}:1$ であることがわかります。

　OAもまた、円の半径なので、OA=OB。よってAC:OB= $\sqrt{2}:1$ です。これが2つの三角形の相似比ですね。

　よって、△ACQと△OBPの相似比は、 $(\sqrt{2})^2:1^2=2:1$ となります。

　ここで、△ACQの面積を $2S$ 、△OBPの面積を $S$ とします。

　そうすると、△OAPの面積が $S$ となるのはわかるでしょうか？△OAPと△OBPを比べてみると、それぞれOAとOBを底辺としたときに高さは同じになります。ということは△OAPと△OBPも面積は同じということです。

　そして、△ARPは $2S$ です。[問2①]で、△ARP≡△ABPということを証明しました。△ABPの面積は △OAP+△OBP= $S+S$ = $2S$ ですので、△ARPの面積も $2S$ となります。

　となると、四角形AOPRの面積は、△OAPと△ARPの面積を足したものなので、 $2S+S=3S$ となります。

　・△ACQの面積は $2S$

　・四角形AOPRの面積は $3S$ なので

$2S\div3s=\dfrac{2}{3}$ より、△ACQの面積は四角形AOPRの $\dfrac{2}{3}$ 倍となります。

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　「数学は得意！目指せ満点！」というレベルの人だと、これに一番時間を使ったんじゃないかなー。(←私のこの手の予想は、たいてい外れます。。。)

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