冴島薫のブログ

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【高校入試】2018年東京都立高校入試数学大問2[問1] ～文字式その1～

2018 東京都都立高校入試数学

2018年東京都立高校入試の数学。

大問2、文字式の問題です。ここでは[問1]を解いていきます。

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　大問2は、例年、このような文字式に関する問題が出ます。

　体積や表面積に関する問題もよく出題されますが、その際に意識してほしいのが、「直線を表す文字(と $\pi$ )だけで式を作る」 ことです。

　それでは早速、解いていきましょう。

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　問題文にある、 $a$ 、 $b$ 、 $h$ がどこの長さにあたるのかを書き入れました。まずはこのように「問題文の情報を図に書き入れる」のは大事です。

　さて、今回求めるのは表面積です。この場合は、

・正六角形 2つ分

・長方形 6つ分

の面積の合計です。では、「正六角形」と「長方形」に分けて考えてみましょう。　

　まずは正六角形です。

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　問題の図形を上から見たところだと思ってください。

　ここから、正六角形の面積は「△MABの6つ分」ということがわかるのではないでしょうか？

　(今回は気づかなくていいのですが…) △MABが正三角形ということも、気づいてほしい所です。

　では、△MABの面積は、どんな式で表されるでしょうか？

　(三角形の面積) = (底辺) × (高さ) × $\dfrac{1}{2}$ なので、

　 $a\times b\times\dfrac{1}{2}$

　 $=\dfrac{1}{2}ab$

　これの6つ分が正六角形の面積なので

　 $\dfrac{1}{2}ab\times6=3ab$ となります。

　次に、側面について考えます。

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　こちらは、合同は長方形6つ分となりますね。

　そのうちの1つ四角形ABHGに注目してみると、縦 $h cm$ 、横 $a cm$ であることがわかります。

　よってその面積は、 $h\times a=ah$ ですね。

　求める表面積は、

　(正六角形) × 2 ＋ (長方形) × 6

　 $3ab\times2+ah\times6$

　 $=6ab+6ah$

　 $=6a(b+h)$

　となります。

　選択肢はイを選びます。

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　先ほども少し触れたように、△MABは正三角形ですから、 $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ と表すことができます。

　今回は選択肢の中に $b$ があるので、使う機会はありませんでしたが、どうやって $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ を導き出したかはしっかり確認しておきましょう。