冴島薫のブログ

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【高校入試】2018年東京都立高校入試数学大問2[問2] ～文字式その2～

2018 東京都都立高校入試数学

2018年東京都立高校入試の数学。

大問2、文字式の問題です。ここでは[問2]を解いていきます。

f:id:studyandjoy:20180224145615j:plain 　この問題も、「直線を表す文字(と $\pi$ )だけで式を作る」 ことを意識して解いていきましょう。

　 $Q$ も $l(h+r)$ も「直線を表す文字(と $\pi$ )だけで式を作る」のです。

　

　ではまず、 $Q$ から見ていきましょう。 $Q$ は、この円柱の表面積ですね。

　問1でも出てきた表面積。基本は展開図で考えることです。

f:id:studyandjoy:20180224150946p:plain

　こんな感じでしょうか？　よって、この円柱の表面積は、

　(長方形の面積) + (円の面積) ×２

　 $h\times l+\pi r^2\times 2$

　 $=hl+2\pi r^2$

となります。

　さて、これでは、まだ右辺 $l(h+r)$ と一致しませんね。

　ここで $hl+\pi r^2$ に使われている文字をよく見てみると・・・

　 $h$ → 円柱の高さ、つまり直線の長さです。

　 $l$ → 底面の円周、つまり曲線の長さです。

　 $r$ → 円の半径、つまり直線の長さです。

　こうして見てみると、「 $l$ を別の形で表せばいいのかな？」ということが見えてきませんか？　 $l$ は、半径 $r$ の円の円周なので、

　 $l=2\pi r$

と表すことができます。

　これを、 $hl+2\pi r^2$ に代入すると、

　 $hl+2\pi r^2$

　 $=h\times 2\pi r+2\pi r^2$

　 $=2\pi hr+2\pi r^2$

となります。これで直線を表す文字(と $\pi$ )だけで式を作る」ことができましたね。

　さて、次は右辺、 $l(h+r)$ について考えてみましょう。

　よく見ると、 $l$ という"曲線の長さ"を表す文字が紛れているので、先ほどと同様に変形してみましょう。

　 $l(h+r)$

　 $=2\pi r(h+r)$

　 $=2\pi hr+2\pi r^2$

　これで、右辺と左辺が一致しましたね。

　解答欄には、以下のように書くといいでしょう。

******************

$l$ は底面の円の円周なので、

$l=2\pi r$ と表すことができる。

また、

$Q=h\times l+\pi r^2\times 2$

$=hl+2\pi r^2$

$=h\times 2\pi r+2\pi r^2$

$=2\pi hr+2\pi r^2$

$l(h+r)$

$=2\pi r(h+r)$

$=2\pi hr+2\pi r^2$

よって、 $Q=l(h+r)$ となる。

******************

こんな感じでしょうか。

**********************************************************************

　 $\pi$ 、つまり円周率は「直径の何倍が円周になるか」を示すものなので、 $\pi=\dfrac{l}{2r}$ という式が作れます。

　これを利用して、式を変形させていってもいいですよ。