【高校入試】2018年東京都立高校入試数学大問5[問1] ～立体の中の角度～

2018年東京都立高校入試の数学。

全部で5つある大問の最後です。ここでは[問1]を解いていきます。

※ [問2]はこちらから！！！！

studyandjoy.hateblo.jp

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［問1］・・・立体の中の角度を求める

　慣れていないと、若干混乱するかもしれません。

　ただ、「立体から平面を切り出す」ことを大事にやっていけば決して難しい問題ではありません。

　さて、今回の場合はどんな平面を切り出せばいいでしょうか？

　∠BPDを求めるわけですから、とりあえず△BPDを切り出してみましょう。(①)

　点Pが点Cの位置にあるわけですから、このような三角形になります。

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　これだけで、「あっ、これって〇〇じゃない？？」と気付ける人もいるかと思いますが、しっかり確かめてみましょう！

　どんな三角形かを確かめるには、

　・それぞれの角が何度なのか確かめる。

　・それぞれの辺の長さを確かめる。

これに尽きます。本当に当たり前の話ですが。。。

　今回はどうしましょうか？

　最終目的は「角度」を求めることですが、難しそうなので辺の長さを確かめることにしましょう。

　まずBPの長さです。これは△PABの辺の一つです。

　ですから△PABを書いてみると(②)

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(AB=9cm、APはACと同じ長さで9㎝、∠BAP=∠BAC=90°ですね)

　ここから、BPの長さは、三平方の定理で求められることがわかります。

BP= $x$ とすると、

$9^2+9^2=x^2$

$162=x^2$

$\sqrt{162}=x$

$9\sqrt{2}=x$

で、BP= $9\sqrt{2}$ となります。

(※ もちろん、直角二等辺三角形ですから、 $1:1:\sqrt{2}$ という辺の比を使ってもいいですよ)

　さて、あとは「BD」と「PD」です。

　今度は四角形BEDAと、四角形ADFCを書いてみましょう。(③)

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　△BEDと△ADCに注目してみると、先ほどの△PABと合同な図形であることがわかります。

　同じように計算すると、DBもCDも $9\sqrt{2}$ cmであることがわかります。

　ということは・・・

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　△BPDは、正三角形であることがわかります。

　ですから、∠BPDの大きさは60°であることがわかります。

(答え) 60°

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　空間図形は、苦手意識があるという人も多いですが、この辺りの問題は、丁寧に「立体から平面を切り出す」ことを繰り返していけばできる問題です。

　解説の中に①～③まで番号を振った場所がありますね。そこで「立体から平面を切り出」しています。

＜これを見ている中学2年生へ＞

　「三平方の定理」は3年生で学習する内容ですが、それを使わなくても・・・

　△ABDと△ABP(△ABC)と△APD(△ACD)の合同が証明できれば、△BPD(△BCD)が正三角形だということがわかります。

冴島薫のブログ

塾講師です。

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