冴島薫のブログ

塾講師です。

【高校入試】2018年東京都立高校入試数学大問3[問2②] ～関数の座標～

2018 東京都都立高校入試数学

2018年東京都立高校入試の数学。

大問3、グラフの問題です。ここでは[問2②]を解いていきます。

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　問2②は、最終的にはグラフの座標を求める問題です。

　まずは、「"だいたい"どのあたりに各点がくるか」を図に書き入れてみましょう。

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　こんな感じになるのではないでしょうか？　本当にざっくりしたものでもいいので「"だいたい"どのあたりに各点がくるか」を見ておくのは大事です。

　これをやっておくと、この後点Pを求めた結果、 $x$ 座標が負になったら「あれ？　おかしいな？」と気づくことができます。

　さて、点Pの座標を求めていきましょう。

　基本は「座標がわからない点の $x$ 座標を文字で置く」ことです。

　ここでは点Pの $x$ 座標をpと置いてみましょう。

　すると、このような感じになります。

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　Q、M、Pのそれぞれの $y$ 座標は、以下のようにして求めました。

(点P)

　放物線 $l$ 上の点ですね。放物線 $l$ の式は $y=\dfrac{1}{2}x^2$ なので、これの $x$ に $p$ を代入して、 $\dfrac{1}{2}p^2$ という $y$ 座標を得ます。

(点Q)

　線分AB上の点ですね。線分ABの式は $y=x+12$ なので(前の問題で求めましたね)、これの $x$ に $p$ を代入して、 $p+12$ という $y$ 座標を得ます。

(点Q)

　線分PQ上の中点です。

　中点の座標は、 $x$ 座標も $y$ 座標も「足して2で割る」ことで求めます。つまり、点Pの $y$ 座標である $\dfrac{1}{2}p^2$ と、点Qの $y$ 座標である $p+12$ を足して2で割ればいいんです。よって、

$\{(\dfrac{1}{2}p^2)+(p+12)\}\div2 = \dfrac{1}{4}p^2+\dfrac{1}{2}p+6$ となります。

さて、「直線BMが原点Oを通る」ということは、「点B、点M、点Oが一直線上にある」つまり「直線OBの上に点Mがある」ということが言えればいいんです。

　「3点が一直線上にある」場合はよく出会うと思いますが、上のように考えるといい方向に行くことが多いですよ。

　ですから、まず直線OBの式を求めてみると、 $y=3x$ 。

　これの上に、P( $p$ , $\dfrac{1}{4}p^2+\dfrac{1}{2}p+6$ ) を代入すると、

　 $\dfrac{1}{4}p^2+\dfrac{1}{2}p+6 = 3p$

　 $\dfrac{1}{4}p^2-\dfrac{5}{2}p+6 = 0$

　両辺を4倍して、

　 $p^2-10p+24 = 0$

　 $(p-4)(p-6) = 0$

　 $p=4, p=6$

　ただし、 $p$ は6より小さい、つまり6は含まないので、　

　 $p=4$

　よって点Pの座標は(4, 8)となります。

　( $y$ 座標は、 $\dfrac{1}{2}p^2$ に $p=4$ を代入すると求められますね)

　

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　座標を求める問題の基本が詰まった問題です。

　来年度以降も似たような問題が出題される可能性は大きいですね。